Πλατωνικά Στερεά - Κανονικά Πολύεδρα

Ο Πλάτωνας πιστεύει ότι ο κόσμος των ιδεών μπορεί να προσεγγιστεί μόνο με την νόηση και ο πιο κατάλληλος τρόπος είναι μέσω των μαθηματικών. Στον διάλογο «Τίμαιο» ο Πλάτων προσπαθεί να προσεγγίσει τη δομή του κόσμου με μαθηματικές έννοιες. Αποδέχεται τις ήδη υπάρχουσες θεωρίες των προηγούμενων φυσικών φιλοσόφων (Θαλή, Αναξιμάνδρου, Αναξιμένη, Εμπεδοκλή, κα) ότι κάθε υλικό σώμα αποτελείται από τα τέσσερα βασικά στοιχεία: τη γη, τον αέρα, το νερό και τη φωτιά. Και όπως ο Αναξίμανδρος θεώρησε ότι τα 4 στοιχεία είναι μορφές του «άπειρου», ο Πλάτων τοποθετεί στη θέση του «απείρου», τον «αιθέρα» με την έννοια του σύμπαντος, ολόκληρου του κόσμου. Θεωρεί ότι αυτά τα στοιχεία είναι τέλεια. Ο άνθρωπος μπορεί να αντιληφθεί την αληθινή φύση τους μόνο μέσα από τα μαθηματικά, οπότε τα αντιστοιχεί με μαθηματικές έννοιες. Επειδή πρόκειται για πραγματικά αντικείμενα, ανατρέχει στα τρισδιάστατα γεωμετρικά στερεά. Καθώς είναι τα τέλεια αντικείμενα, θα πρέπει να ψάξει στα τέλεια γεωμετρικά στερεά που είναι το τετράεδρο, ο κύβος, το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο - τα μοναδικά στερεά που η κάθε τους έδρα  είναι κανονικό πολύγωνο. . Έτσι, καταλήγει ότι ο κύβος αντιστοιχεί στη γη, το τετράεδρο στη φωτιά, το οκτάεδρο στον αέρα, το εικοσάεδρο στο νερό και το δωδεκάεδρο –που μοιάζει πολύ με σφαίρα- στον αιθέρα (δηλαδή στο σύμπαν).
Επιπλέον, ο Πλάτων προσπαθεί να εξηγήσει πως αλληλεπιδρούν ή μετασχηματίζονται, το ένα στο άλλο. Φυσικά ακολουθεί μαθηματικές σχέσεις. Αρχικά, θεωρεί το πιο τέλειο σχήμα το τρίγωνο, καθώς οποιοδήποτε σχήμα μπορεί να χωριστεί σε πολλά τρίγωνα. Από όλα τα είδη τριγώνων, θεωρεί ως τέλειο το ορθογώνιο τρίγωνο με μία οξεία γωνία 30⁰ (και την άλλη 60⁰). Παρατηρεί ότι 6 τέτοια ορθογώνια τρίγωνα σχηματίζουν ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Έτσι κάθε ισόπλευρο τρίγωνο περιέχει 6 τέλεια ορθογώνια τρίγωνα. Το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο αποτελούνται από 4, 8,20 ισόπλευρα τρίγωνα (οι έδρες τους). Άρα περιέχουν 24, 48, 120 τέλεια ορθογώνια τρίγωνα το καθένα. Οπότε μία μονάδα νερού (εικοσάεδρο) περιέχει 120 τέλεια τρίγωνα και ισοδυναμεί με 5 μονάδες φωτιάς (24), ενώ μία μονάδα αέρα (48) ισοδυναμεί με δύο μονάδες φωτιάς (24) κλπ. Βέβαια τα πράγματα γίνονται πολύπλοκα καθώς η γη – κύβος και ο αιθέρας – δωδεκάεδρο, δεν αντιστοιχούν σε αριθμό τέλειων τρίγωνων αφού η έδρα του κύβου είναι τετράγωνο, ενώ του δωδεκαέδρου είναι κανονικό πεντάγωνο. Ο Πλάτων είχε επίγνωση της αδυναμίας αυτής της θεωρίας του, για αυτό από την αρχή λέει ότι πρόκειται για φανταστική θεωρία και όχι πραγματική.